Geometrische Reihe

Eine geometrische Reihe ist die Reihe ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}}$ einer geometrischen Folge ${\displaystyle (a_{n})}$. Bei einer geometrischen Folge ${\displaystyle (a_{n})}$ ist der (formale) Quotient ${\displaystyle q}$ zweier benachbarter Folgenglieder konstant, es gilt also stets

${\displaystyle a_{n+1}=a_{n}q}$.

Explizit ausgedrückt gibt es also eine Konstante ${\displaystyle c}$, sodass ${\displaystyle a_{n}=cq^{n}}$ für alle ${\displaystyle n\geq 0}$. Das bedeutet, dass die Folgenglieder bezüglich des Summenindex einen exponentiellen Verlauf annehmen. Da der Fall ${\displaystyle c=0}$ trivial und in vielen Anwendungen auch nicht sinnvoll ist, und ${\displaystyle c}$ zugleich nur ein gemeinsamer Faktor aller Summanden der Reihe ist, wird in der Literatur meistens schlicht ${\displaystyle c=1}$ gesetzt. Die geometrische Reihe hat dann die vereinfachte Gestalt

${\displaystyle 1+q+q^{2}+q^{3}+q^{4}+\cdots }$.

Aufgrund der einfachen Gestalt der Summanden ist es möglich die Partialsummen ${\displaystyle \textstyle s_{n}:=\sum _{k=0}^{n}q^{k}}$ der zugehörigen geometrischen Reihe explizit zu berechnen. Durch die Rekursion ${\displaystyle s_{n}=s_{n-1}+q^{n}}$ für ${\displaystyle n\geq 0}$ ergibt sich

${\displaystyle s_{n}=1+q+q^{2}+\cdots +q^{n}=1+q(1+\cdots +q^{n-1})=1+qs_{n-1}=1+q(s_{n}-q^{n})}$

und durch Auflösen schließlich für ${\displaystyle q\not =1}$

${\displaystyle s_{n}={\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}}$.

Eine wichtige Folgerung daraus ist, dass die geometrische Reihe ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=0}^{\infty }q^{k}}$ genau dann konvergiert, falls ${\displaystyle |q|<1}$ gilt. Dabei ist es unerheblich, ob es sich bei ${\displaystyle q}$ um eine reelle oder allgemeiner komplexe Zahl handelt.

Die geometrische Reihe zählt zu den wichtigsten Reihen überhaupt. Anwendungen hat sie als Majorante (etwa beim Beweis von Konvergenzkriterien, wie dem Quotientenkriterium), im Bereich der Potenzreihenentwicklungen rationaler Funktionen und in der analytischen Kombinatorik.